Tabelle zum Wertverlust pro Jahr bei Gebrauchtwagen

In diesem Post wollen wir den Wertverlust bei Gebrauchtwagen ermitteln. Als Datensatz zur Beantwortung dieser Frage dient uns folgender Datensatz welcher von Ebay Kleinanzeigen stammt und Informationen zu über 370000 Gebrauchtwagen enthält. Um den durchschnittlichen Preis pro Gebrauchtwagen in Abhängigkeit vom Erstzulassungsjahr, Kilometerstand und Leistung in PS zu ermitteln, benutzen wir folgende mathematische Formel (Lineare Regression, Adjusted R-squared: 0.9047) \[ \text{ preis } = \exp( a\cdot \text{ jahr } + b\cdot \text{ km } + c \cdot \text{ ps } + d + \epsilon ) \] wobei die Werte a,b,c,d aus der Regression stammen. Ein durschnittliches Auto fährt (nach dem Datensatz oben) ca. 12000 km pro Jahr. Der Wertverlust nach einem Jahr lässt sich berechnen als \[ w = 1- \frac{p'}{p} = 1 - \frac{ \exp(12000\cdot b)}{\exp(a)} \] wobei p der aktuelle Preis und p' der Preis in € nach einem Jahr ist. Setzen wir die Werte für a und b aus der Regression ein, erhalten wir w = 0.119739, d.h. der Werteverlust eines durchschnittlichen Gebrauchtwagens beträgt ca. 12% pro Jahr. Aus dieser Angabe können wir eine Tabelle erstellen, die uns anzeigt wie sich der Preis eines durchschnittlichen Gebrauchtwagens ungefähr entwickeln wird. Alle Angaben in der Tabelle sind in € und ohne Gewähr!

jetzt	nach 1 Jahr	nach 2 Jahren	nach 3 Jahren	nach 4 Jahren	nach 5 Jahren
1000	880	775	682	600	529
2000	1761	1550	1364	1201	1057
3000	2641	2325	2046	1801	1586
4000	3521	3099	2728	2402	2114
5000	4401	3874	3410	3002	2643
6000	5282	4649	4092	3602	3171
7000	6162	5424	4775	4203	3700
8000	7042	6199	5457	4803	4228
9000	7922	6974	6139	5404	4757
10000	8803	7749	6821	6004	5285
11000	9683	8523	7503	6604	5814
12000	10563	9298	8185	7205	6342
13000	11443	10073	8867	7805	6871
14000	12324	10848	9549	8406	7399
15000	13204	11623	10231	9006	7928

Mixed Integer Programming to solve a retail category price optimization problem

In this post we are going to implement the procedure given in "A fractional programming approach for retail category price optimization" by S. Subramanian and H. D. Sherali. We are going to use the SCIP optimization suite with Python bindings. I have constructed a small example with n = 2 products and m = 3 prices per product. Here is the python code:

  """
Solves the retail category price optimization in "A fractional programming approach for retail category
price optimization" from S. Subramanian and H. D. Sherali
Copyright (c) by Orges Leka (2016)
"""
from pyscipopt import Model, quicksum
import math

"""

"""
def retail(n,m,P, d, p0, l, u, phi0, phiMax, R0, elast, mu, lmbda, alpha, beta, K, a,b,c,yMin,yMax):
  model = Model("retail price")
  v, r, g, x, z = {}, {}, {}, {},{}
  y = model.addVar(vtype="CONTINUOUS",name="y")
  phi = model.addVar(vtype="CONTINUOUS",name="phi")
  w = model.addVar(vtype="CONTINUOUS",name="w")
  for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,m+1):
      v[i,j] = math.exp(mu[i]+lmbda[i]*P[i,j])
      r[i,j] = v[i,j] * P[i,j]
      g[i,j] = v[i,j] * (P[i,j] - d[i])
      x[i,j] = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="x(%s,%s)"%(i,j))
      z[i,j] = model.addVar(vtype="BINARY",name="z(%s,%s)"%(i,j))

  model.addCons(quicksum(v[i,j]*x[i,j] for (i,j) in x) == phi) # 3b
  model.addCons( w == math.log(phi0) + elast/(1.0*n) * quicksum( math.log(P[i,j]/p0[i])*z[i,j] for (i,j) in z ) ) # 3d
  model.addCons( alpha*phi0 <= phi ) #3e
  model.addCons( phi <= phiMax ) # 3e
  model.addCons( math.log(alpha*phi0) <= w ) # 3e
  model.addCons( w <= math.log(phiMax) )  # 3e
  model.addCons( quicksum( r[i,j]*x[i,j] for (i,j) in x ) >= beta * R0 ) #3f
  for k in K.keys():
    model.addCons( a[k] * quicksum( P[k,l]*z[k,l] for l in range(1,m+1) ) <= b[k] * quicksum( P[k,l] * z[k,l] for l in range(1,m+1) ) + c[k] ) # 3g
  for k in K.keys():
    model.addCons( a[k] * quicksum( P[k,l]*x[k,l] for l in range(1,m+1) ) <= b[k] * quicksum( P[k,l] * x[k,l] for l in range(1,m+1) ) + c[k]*y ) # 3h
  for i in range(1,n+1):
    model.addCons( quicksum( z[i,j] for j in range(1,m+1)) == 1) # 3i
  for i in range(1,n+1):
    model.addCons( quicksum( x[i,j] for j in range(1,m+1)) == y) # 3j
  for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,m+1):
      model.addCons( x[i,j] <= yMax * z[i,j] ) # 3k
      model.addCons( x[i,j] >= yMin * z[i,j] ) # 3l
  model.addCons( yMin <= y ) # 3m
  model.addCons( y <= yMax ) # 3m
  model.addCons( phi >= alpha*phi0*(1+w-math.log(alpha*phi0)) ) # 4b. T=2
  model.addCons( phi >= phiMax*(1+w-math.log(phiMax)) ) # 4b .  T = 2
  model.addCons( phi <= (phiMax-alpha*phi0)/(math.log(phiMax)-math.log(alpha*phi0))*(w-math.log(alpha*phi0))+alpha*phi0 )# 4a, S= 1
  model.setObjective(quicksum(g[i,j]*x[i,j] for (i,j) in x), "maximize") # 3a
  print g
  return model

def generateExample():
  n = 2
  m = 3
  P = { (1,1):2.49, (1,2):2.59, (1,3) : 2.69,
        (2,1):8.99, (2,2):9.09, (2,3) : 9.19 }
  d = { 1 : 1.49, 2 : 7.49 }
  p0 ={ 1 : 2.50, 2 : 9.05 }
  l = { 1 : 2.00, 2 : 8.49 }
  u = { 1 : 3.00, 2 : 9.99 }
  phi0 = 500
  phiMax = 700
  R0 = 50
  elast = -2.0
  mu = { 1 : 0.1, 2: 0.2}
  lmbda = { 1: 0.02, 2: 0.01 }
  alpha = 0.8
  beta = 0.9
  K = { 1 : 1}
  a = { 1 : 0.5}
  b = { 1 : 1.5}
  c = { 1 : 0.5}
  yMin = 0.0
  yMax = 1000.0
  return n,m,P, d, p0, l, u, phi0, phiMax, R0, elast, mu, lmbda, alpha, beta, K, a,b,c, yMin, yMax


if __name__ == "__main__":

    n,m,P, d, p0, l, u, phi0, phiMax, R0, elast, mu, lmbda, alpha, beta, K, a,b,c,yMin,yMax = generateExample()
    model = retail( n,m,P, d, p0, l, u, phi0, phiMax, R0, elast, mu, lmbda, alpha, beta, K, a,b,c,yMin,yMax  )

    model.hideOutput() # silent mode
    model.optimize()
    cost = model.getObjVal()
    print()
    print("Optimized:")
    print("Optimal value:", cost)
    #model.printAttr("X")
    for v in model.getVars():
      print(v.name, "=", model.getVal(v))

Please refer to the article for the meaning of the variables.